Una función es como una máquina de transformar números : le metes un valor (x), la máquina hace su operación, y te da un resultado (y). Hay tres grandes preguntas sobre funciones, y en esta lección vas a dominar las tres:
¿Cómo evalúo?
Sustitución directa: reemplaza x por un número y calcula.
¿Puedo ver varios valores?
Tablas de valores: lista de "entradas" y sus "salidas".
¿Puedo combinar funciones?
Funciones compuestas: la salida de una es la entrada de otra.
¿Ecuación vs Tabla?
Son lo mismo — solo diferentes idiomas para la misma relación.
¿Ecuación vs Gráfica?
La gráfica es la imagen visual de la ecuación.
¿Tabla vs Gráfica?
Los puntos de la tabla son puntos exactos en la gráfica.
🎯 El Gran Secreto: Ecuación, Tabla y Gráfica son lo mismo
Mueve los deslizadores y observa cómo la ecuación, la tabla y la gráfica cambian al mismo tiempo — ¡son tres caras de la misma función!
| x | f(x) |
|---|
📌 ¿Qué es la evaluación?
Una compañía de teléfono cobra $20 fijos más $0.10 por minuto. Si x son los minutos, el costo es C(x) = 0.10x + 20 . ¿Cuánto pagas por 150 minutos? Sustituye x = 150: C(150) = 0.10(150) + 20 = $35.00
La evaluación es una sustitución directa es decir, reemplazar la variable x por un número específico y calcular el resultado siguiendo el orden de operaciones.
📐 Ejemplo 1 — Función lineal: f(x) = 3x − 5, evaluar en x = 2
📐 Ejemplo 2 — Función cuadrática: g(x) = x² − 4x + 3, evaluar en x = 3
📐 Ejemplo 3 — Función racional: h(x) = (2x + 1)/(x − 3), evaluar en x = 5
⚠️ Errores comunes — ¡No caigas en estas trampas!
| ❌ Error | ✅ Correcto |
|---|---|
| f(3) = 3 × 3 - 5 = 9 - 5 = 4 (f(x) = 3x − 5) | f(3) = 3(3) − 5 = 9 − 5 = 4 ✓ (este sí da igual, pero...) |
| g(-2) = -2² = -4 ← ¡Trampa! | g(-2) = (-2)² = 4 ✓ (el exponente aplica al número negativo) |
| f(-3) = 3-3 + 1 = 1 (olvidó el paréntesis) | f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 ✓ |
| No verificar denominador ≠ 0 en funciones racionales | Siempre comprueba que x no haga cero el denominador |
🧮 Evaluador interactivo paso a paso
Selecciona una función, escribe el valor de x y observa cada paso del proceso.
Práctica GED: Si f(x) = 4x² − 3, ¿cuál es f(−2)?
Práctica GED: Si g(x) = −2x + 7, ¿para qué valor de x es g(x) = 1?
Plantea la ecuación: −2x + 7 = 1
→ −2x = 1 − 7 = −6
→ x = −6 / −2
✅ x = 3 Verifica: g(3) = −2(3) + 7 = −6 + 7 = 1 ✓
📌 ¿Por qué usar tablas?
Una tabla de la gasolinera muestra: 1 galón = $3.50, 2 galones = $7.00, 5 galones = $17.50... Eso es exactamente una tabla de una función: f(x) = 3.50x.
Una tabla de valores es una colección organizada de pares (x, f(x)). Sirve para:
- Ver cómo cambia la función en varios puntos
- Identificar interceptos, máximos y mínimos
- Detectar si la función es lineal (cambio constante) o cuadrática
- Trazar la gráfica a mano
📊 Ejemplo 1 — Función lineal: f(x) = 2x − 1
| x | Cálculo | f(x) | Cambio en f(x) |
|---|---|---|---|
| −2 | 2(−2) − 1 | −5 | — |
| −1 | 2(−1) − 1 | −3 | +2 |
| 0 | 2(0) − 1 | −1 | +2 |
| 1 | 2(1) − 1 | 1 | +2 |
| 2 | 2(2) − 1 | 3 | +2 |
📊 Ejemplo 2 — Función cuadrática: g(x) = x² − 2x − 3
| x | Cálculo | g(x) | Δg | ΔΔg |
|---|---|---|---|---|
| −2 | (−2)²−2(−2)−3 | 5 | — | — |
| −1 | 1+2−3 | 0 | −5 | — |
| 0 | 0−0−3 | −3 | −3 | +2 |
| 1 | 1−2−3 | −4 | −1 | +2 |
| 2 | 4−4−3 | −3 | +1 | +2 |
| 3 | 9−6−3 | 0 | +3 | +2 |
| 4 | 16−8−3 | 5 | +5 | +2 |
📊 Cómo identificar el tipo de función desde una tabla
| Lo que ves en la tabla | Tipo de función | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cambios en f(x) constantes | Lineal f(x)=mx+b | +3, +3, +3… |
| Segundas diferencias constantes | Cuadrática f(x)=ax²+… | dif: +2, +4, +6 → seg.dif: +2, +2… |
| f(x) se multiplica por constante | Exponencial f(x)=abˣ | ×2, ×2, ×2… |
📊 Generador interactivo de tablas
Ajusta los parámetros y genera automáticamente la tabla y la gráfica.
Práctica GED: Dada la tabla, ¿qué tipo de función es?
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 2 | −1 | −4 | −7 |
Análisis: Cambios: 2−5=−3, −1−2=−3, −4−(−1)=−3, −7−(−4)=−3
✅ Es lineal (cambio constante de −3). La pendiente es m = −3, y como f(0) = 5, la ecuación es f(x) = −3x + 5 .
🔗 ¿Qué son las funciones compuestas?
Para convertir °F a Kelvin necesitas dos pasos : primero conviertes a Celsius con g(F) = (F−32)×5/9, luego conviertes a Kelvin con f(C) = C + 273.15. Juntas: h(F) = f(g(F)) — ¡eso es composición!
Una función compuesta aplica una función sobre el resultado de otra. Se escribe:
Lee: "f compuesta con g de x" — primero g, luego f
🔗 Ejemplo 1 — Paso a paso: f(x)=3x, g(x)=x+2 → h(1) = f(g(1))
Visualización del flujo:
🔗 Ejemplo 2 — f(x)=√x, g(x)=x²+3 → h(2) = f(g(2))
🔗 Ejemplo 3 — Tres funciones: j(x) = f(g(h(x))) → j(0)
f(x) = 2x − 1, g(x) = x², h(x) = x + 3
🔗 Compositor visual de funciones
Selecciona g(x) y f(x), escribe x, y observa cómo los valores fluyen de máquina en máquina.
Práctica GED: f(x) = x + 3 y g(x) = 2x. ¿Cuánto es f(g(4))?
Paso 1 — g(4) = 2(4) = 8
Paso 2 — f(g(4)) = f(8) = 8 + 3 = 11
✅ f(g(4)) = 11
Ojo: g(f(4)) = g(4+3) = g(7) = 2(7) = 14 ≠ 11. ¡El orden importa!
⚡ La relación entre ecuación y tabla
La ecuación y la tabla son la misma función en distintos idiomas . La ecuación es compacta y general; la tabla muestra valores específicos. Puedes convertir libremente entre las dos.
General y compacta. Permite calcular f(x) para cualquier valor de x.
| x | f(x)=2x+3 |
|---|---|
| −2 | −1 |
| 0 | 3 |
| 2 | 7 |
⚡ De ecuación → tabla: Ejemplo con f(x) = x² − 2x
| x | Cálculo | f(x) |
|---|---|---|
| −2 | (−2)² − 2(−2) = 4 + 4 | 8 |
| −1 | (−1)² − 2(−1) = 1 + 2 | 3 |
| 0 | 0 − 0 | 0 |
| 1 | 1 − 2 | −1 |
| 2 | 4 − 4 | 0 |
| 3 | 9 − 6 | 3 |
⚡ De tabla → ecuación: Detecta el patrón
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −5 | −2 | 1 | 4 | 7 |
⚡ Ventajas y limitaciones de cada formato
📝 Ecuación — Ventajas
- Representa toda la función en pocas letras
- Calcula cualquier valor
- Permite álgebra (despejar, combinar)
📝 Ecuación — Limitaciones
- Abstracta, requiere habilidad algebraica
- No muestra valores específicos de un vistazo
📊 Tabla — Ventajas
- Valores concretos y directos
- Fácil de leer
- Útil para datos experimentales
📊 Tabla — Limitaciones
- Solo muestra puntos seleccionados
- No describe el comportamiento entre puntos
Práctica GED: ¿Cuál ecuación corresponde a esta tabla?
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 7 | 10 | 13 |
Cambio constante: +3 → lineal. m = 3, f(0) = 4 → b = 4.
✅ f(x) = 3x + 4
📈 La relación entre ecuación y gráfica
La gráfica es la imagen visual de la ecuación. Cada punto (x, f(x)) de la tabla es un punto en la gráfica. Las características algebraicas de la ecuación tienen un aspecto visual claro en la gráfica.
| En la ecuación | En la gráfica |
|---|---|
| m positiva en f(x)=mx+b | Línea que sube de izq. a der. |
| m negativa en f(x)=mx+b | Línea que baja de izq. a der. |
| b en f(x)=mx+b | Punto donde la línea cruza el eje Y |
| a > 0 en f(x)=ax²+bx+c | Parábola abre hacia arriba ∪ |
| a < 0 en f(x)=ax²+bx+c | Parábola abre hacia abajo ∩ |
| f(x) = 0 (las raíces) | Puntos donde la gráfica cruza el eje X |
📈 De ecuación → gráfica: f(x) = 2x − 3
📈 De gráfica → ecuación: Identifica puntos clave
Para funciones lineales:
- Lee el y-intercepto (donde cruza el eje Y) → ese es b
- Elige dos puntos y calcula la pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- Escribe f(x) = mx + b
Para funciones cuadráticas:
- Identifica el vértice (h, k) → usa f(x) = a(x−h)² + k
- Usa otro punto conocido para encontrar a
- Verifica con otro punto
📈 Explorador de parámetros — Ecuación y Gráfica
Ajusta los parámetros con los deslizadores y observa cómo cambia la gráfica en tiempo real.
Práctica GED: ¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por (2, 5) y (4, 11)?
m = (11 − 5) / (4 − 2) = 6 / 2 = 3
Ecuación: f(x) = 3x + b. Con punto (2, 5): 5 = 3(2) + b → b = −1
✅ f(x) = 3x − 1
🔄 La relación entre tabla y gráfica
Cada fila de la tabla (x, f(x)) es exactamente un punto en la gráfica. La tabla te da precisión numérica; la gráfica te da la imagen completa. Juntas son perfectas.
| x | f(x) |
|---|---|
| −2 | 6 |
| 0 | 2 |
| 2 | 6 |
Valores exactos en puntos específicos
🔄 De tabla → gráfica: Pasos y ejemplo
| x | f(x) | Par ordenado | Característica |
|---|---|---|---|
| −3 | 1 | (−3, 1) | — |
| −2 | −2 | (−2, −2) | — |
| −1 | −3 | (−1, −3) | Mínimo |
| 0 | −2 | (0, −2) | Intercepto Y |
| 1 | 1 | (1, 1) | — |
| 2 | 6 | (2, 6) | — |
🔄 De gráfica → tabla: Leer valores de una gráfica
🔄 Las tres representaciones se complementan
| ¿Qué necesitas? | Mejor representación |
|---|---|
| Valor exacto de f(x) para un x dado | Ecuación (sustitución) o tabla |
| Ver tendencias generales, crecimiento, forma | Gráfica |
| Comparar dos funciones en puntos específicos | Tabla de ambas juntas |
| Encontrar dónde f(x) = g(x) (intersección) | Gráfica (punto de cruce) |
| Comunicar a alguien sin conocimientos de álgebra | Gráfica o tabla |
Práctica GED: De la gráfica a la tabla — Identifica los valores
La gráfica de una función lineal pasa por los puntos (0, 4) y (3, 1).
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 3 | 2 | 1 |
Pendiente: (1−4)/(3−0) = −3/3 = −1. ✅ f(x) = −x + 4